Zakrivljenost ravinske krivulje zadane implicitnom jednadžbom 
Vrsta: Seminarski | Broj strana: 10 | Nivo: FOI, Hrvatska

UVOD
U matematici postoje razne krivulje, obilježavaju ih nul-točke, intervali rasta i pada, te različite druge vrijednosti. Služe za prikazivanje različitih stanja i pojava u nekim procesima.
Najprije ću nacrtati zadanu krivulju, potom pojasniti pojam zakrivljenosti krivulje K, definirati polumjer zakrivljenosti krivulje R i odrediti diferencijal luka ds. Nakon toga ću izračunati i prokomentirati zakrivljenost zadane krivulje, te za kraj nacrtati tri grafa u istom koordinatnom sustavu te prokomentirati što se događa sa krivuljom u ovisnosti o konstanti.
Nacrtajte zadanu krivulju jednadžbom: x3 + y3 =3axy za a =1
EMBED Equation.3
Ishodište jednadžbe x3 + y3 =3axy je čvorna točka koja za tangente ima koordinatne osi, a polumjer zakrivljenosti za obje grane u ishodištu; EMBED Equation.3 . Asimptota te krivulje je pravac x + y + a = 0.
Tjeme je A EMBED Equation.3 .
Descartesov list je algebarska krivulja trećeg stupnja jednadžbe: x3 + y3 + axy = 0.Descartes ju je proučavao 1638.g., ali je pronašao njen točan oblik samo u 1. kvadrantu, iako je pronašao njen pravi oblik u pozitivnom kvadrantu, vjerovao je da se njen oblik ponavlja i u ostalim kvadrantima, što nije točno.
b) Pojasnite pojam zakrivljenosti krivulje K, definirajte polumjer zakrivljenosti krivulje R i odredite diferencijal luka ds.
~ Zakrivljenost K krivulje ~
Zakrivljenošću K krivulje u njenoj točki M nazivamo limes omjera „kuta kontingencije“ EMBED Equation.3 između pozitivnih smjerova tangenata u točkama M i N i duljine luka MN kada EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 za EMBED Equation.3
Također, zakrivljenošću K krivlje smatra se pozitivna veličina, razumijevajući pod tim apsolutnu veličinu gore navedenog limesa. Predznak može biti „+“ ili „ – “ ovisno o predznaku toga limesa. Predznak K pokazuje da li je krivulja svojom konkavnom stranom okrenuta u smjeru pozitivnog (K > 0) ili negativnog (K<0) polupravca normale.
~ Polumjer zakrivljenosti R ~
Polumjerom zakrivljenosti R u točki M krivulje nazivamo recipročnu veličinu zakrivljenosti: R = 1/K. Što je veća zakrivljenost krivulje u blizini zadane točke, to je veći K a manji R.
~ Diferencijal luka ds ~
Definiramo kao EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 uz predpostavku da je EMBED Equation.3 =d EMBED Equation.3 i MN = ds.
c) Izračunajte i prokomentirajte zakrivljenost zadane krivulje
~ Asimptota ~
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
... 

---------- CEO RAD MOŽETE PREUZETI NA SAJTU. ---------- 

www.maturski.org 

 

MOŽETE NAS KONTAKTIRATI NA E-MAIL: [email protected]